Contoh dan Pembahasan Soal Induksi Matematika

Contoh dan Pembahasan Soal Induksi Matematika.  Materi tentang Induksi dalam matematika merupakan suatu cara pembuktian sebuah kebenaran pernyataan yang dilakukan dengan menggunakan bilangan asli. Contoh dari suatu himpunan bilangan asli yakni anggota dimulai dari 1, 2, 3, ... yang dapat kita tuliskan sebagai berikut:

N = {1, 2, 3, ...... }

Prinsip yang digunakan pada Induksi Matematika adalah prinsip terurut rapi (well-ordering principle) dari suatu bilangan asli. Setelah kita mengenal tentang bilangan asli, sekarang kita lihat apa itu prinsip terurut rapi berikut:

Prinsip terurut rapi dari suatu Bilangan Asli
Setiap himpunan dari suatu bilangan asli yang tidak kosong dari N mengandung anggota bilangan terkecil

Materi Induksi Matematika

secara resminya, suatu bentuk materi induksi matematika yang memenuhi prinsip-prinsip menyatakan bahwa setiap himpunan bukan kosong V adalah suatu himpunan dari bagian N sehingga terdapat vo pada anggota N. Dari hal itu berlaku vo ≤ v untuk semua v dari anggota V.

Agar kita dapat memahami prinsip terurut rapi, kita harus menurunkan prinsip induksi matematika yang bisa dinyatakan dalam suatu himpunan N.

 Agar kita dapat membuktikan suatu persamaan dengan menggunakan induksi matematika maka digunakan 3 langkah-langkah yakni:

⇒ Pertama, kita harus buktikan nilai dari n = 1 , apabila persamaan sudah benar maka kita lanjut ke langkah kedua.

⇒ Kedua, masukan nilai dari n = k,  n = k maksudnya kita ganti nilai n dengan k

⇒ Ketiga, Substitusikan n = k + 1 ke dalam persamaan. apabila nilai n = k +1 bentuk bersesuaian dengan n = k dalam persamaan yang kita ingin buktikan sudah sesuai, maka persamaan tersebut telah terbukti.

 Untuk lebih memahami tentang Materi induksi Matematika perhatikan contoh-contoh berikut ini:

Soal Nomor 1

Buktikan bahwa :
2 + 4 + 6 +8 +10 + 12 + 14 + ....... + 2n = n² + 2

Pembahasan :

⇒Pertama, buktikan terlebih dahulu nilai untuk n = 1. 

Jika kita masukan nilai n = 1, nilai fungsi tersebut menjadi 1² + 1 = 2 (benar). Kemudian kita sesuaikan dengan persamaan yang di berada di ruas kanan yaitu n² + 2 , ternyata hasil yang diperoleh sama yaitu 2 (dua).

⇒ Kedua, kita buktikan untuk n = k. 

sehingga deret penjumlahan di atas akan menjadi :

2 + 4 + 6 +8 +10 + 12 + 14 + ....... + 2n = n² + n 

2 + 4 + 6 +8 +10 + 12 + 14 + ....... + 2k = k² + k

Untuk n = k ini kita anggap bahawa bernilai benar.


⇒ Ketiga, kita buktikan untuk n = k + 1

Apabila disubstitusi nilai n = k +1 ke persamaan maka diperoleh deret seperti berikut:

2 + 4 + 6 +8 +10 + 12 + 14 + ....... + 2n = n² + n

2 + 4 + 6 +8 +10 + 12 + 14 + ....... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)² + (k + 1)

(k² + k) + 2(k+1) = (k + 1)² + (k + 1)

ingat bahwa:

2 + 4 + 6 +8 +10 + 12 + 14 + ....... + 2k = k² + k

(k² + k) + 2k + 2 = (k + 1)² + (k + 1)

Setelah itu, kita buktikan bahwa ruas kiri harus sama dengan ruas kanan. Sebagai acuan dalam pembuktiaan yakni persamaan yang ada disebelah kanan. Itu artinya persamaan yang ada disebelah kiri harus diusahakan sama dengan ruas kanan. Sehingga :

k² +2k + k + 2 = (k + 1)² + (k + 1)

Supaya persamaan di ruas kiri berbentuk persamaan kuadrat seperti di ruas kanan, maka persamaan di ruas kiri kita atur. penyelesaiannya sebagai berikut :

(k + 1)² = k² + 2k +1

sehingga :

k² +2k + 1+ k + 1 = (k + 1)² + (k + 1)

(k + 1)² + (k + 1) = (k + 1)² + (k + 1)

Sampai ditahap ini dapat kita perhatikan bahawa ruas kiri sudah sama dengan ruas kanan dan bentuk persamaannya bersesuain saat kita memasukkan nilai n = k.

Karena ketiga persamaan penjumlahan di atas sudah benar dari ketiga langkah yang diselesaikan, maka dapat kita simpulkan bahwa penjumlahan diperoleh:

2 + 4 + 6 +8 +10 + 12 + 14 + ....... + 2n = n² + n   terbukti benar .

Baca Juga:
Contoh dan Pembahasan Soal beserta Rumus Logaritma
Contoh dan pembahasan Soal Suku Banyak Teorema Sisa matematika

Contoh Soal 2

Buktikan bahwa :
31 + 39 + 47 + 55 + ..... + (8n + 23) = 4n² + 27n

Pembahasan:

⇒ Pertama, untuk n = 1

Nilai penjumlahan deret tersebut adalah

4.1² + 27.1 = 4 + 27 =31 (Benar)


⇒ Kedua, ganti nilai  n = k
31 + 39 + 47 + 55 + ..... + (8n + 23) = 4n² + 27n
31 + 39 + 47 + 55 + ..... + (8k + 23) = 4k² + 27k


⇒  Ketiga, ganti nilai n = k+1


31 + 39 + 47 + 55 + ..... + (8k + 23) + 8(k+1) +23) = 4(k+1)2 + 27(k+1)

4k2 + 27k + 8 (k+1) + 23 = 4(k+1)2 + 27(k+1)

4k2 + 27k + 8k + 8 + 23 = 4(k+1)2 + 27(k+1)

4k² + 8k + 4 + 27k + 27 = 4(k+1)² + 27(k+1)

4(k² + 2k + 1) + 27 (k + 1) = 4(k+1)² + 27(k+1)

4(k + 1)² + 27 (k + 1) = 4(k+1)² + 27 (k+1) ...... Terbukti

Persamaan di atas menunjukkan bahwa antara ruas kiri dan kanan sama.


Demikian Contoh dan Pembahasan Soal Induksi Matematika semoga dapat bermanfat.

Tags #soalinduksi #induksimatematika #contoh_induksi_matematika