Contoh Soal Induksi Matematika Pertidaksamaan

Contoh Soal Induksi Matematika Pertidaksamaan. Induksi matematika pernah kami bahas di artikel sebelumnya namun kali ini kami akan bahas secara khusus tentang contoh soal induksi matematika yang mengandung pertidaksamaan. Yang dimaksud pertidaksamaan yakni himpunan yang ada di sebelah ruas kiri dan ruas kanan yang akan menjadi perbandingan apakah lebih besar atau lebih kecil. Beda dengan persamaan yang hanya diantarai dengan tanda sama dengan sebagai pembanding kedua ruas.

Agar kita dapat mengerjakan contoh soal induksi matematika ketidaksamaan dalam suatu himpunan bilangan asli perlu kembali anda mengerti tentang prinsip induksi matematika yang diperluas.

Induksi Matematika Pertidaksamaan

Pada beberapa materi serta pembahasan contoh soal induksi matematika sering dijumpai suatu pernyataan P(n) yang bernilai salah untuk sebagian bilangan bulat positif pertama, namun akan bernilai benar untuk bilangan selanjutnya. Bentuk ini merupakan suatu kelanjutan pada materi induksi matematika.

Contoh soal mengenai ketidaksamaan ini dimisalkan pembuktian P(6) benar, maka dengan menggunakan langkah induksi matematika, akan menghasilkan suatu kebenaran untuk himpunan P(6), P(7), P(8),....... Hal ini disebut sebagai variasi dari suatu induksi matematika. Agar lebih memahami prinsip induksi matematika berikut contoh yang dapat kami bagikan. 

Soal Nomor 1: Pembuktian Pertidaksamaan Induksi Matematika

Carilah pembuktian dari 4n < 2ⁿ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5

Pembahasan Soal 1: 

➣ kita misalkan bahwa P(n) kita nyatakan di dalam sebuah pernyataan yakni 4n < 2ⁿ
➣ P(5) merupakan pernyataan 4.5 < atau 20 < 25, dan pertidaksamaan bernilai benar.
➣ Anggap himpunan P(k) adalah benar. Sehingga kesimpulan dalam bentuk hipotesis dari induksi matematika adalah....

4k < 2^k

➣ Kita dapat menggunakan pernyataan hipotesis di atas yang menyatakan bahwa P (k + 1) adalah benar, yakni:

4 (k+1) < 2^k+1

Dari persamaan yang telah kita dapatkan di atas, coba untuk mengumpulkannya pada ruas sebelah kiri pertidaksamaan dengan menggunakan prinsip induksi matematika. dimana k ≥ 5 kita dapat peroleh :

4 (k +1) = 4k + 4       ⇒ Sifat distributif
              <  2^k + 4      ⇒ Hipotesis induksi
              <  2^k + 4k    ⇒ Karena 4 < 4k
              <  2^k + 2^k     ⇒ Hipotesis induksi

              <  2. 2^k       
              < 2^k+1            ⥤ Sifat eksponen          

Pada himpunan P (k + 1) dengan mengikuti P(k), sehingga kita sudah menyelesaikan langkah induksi matematika.

Pembuktian dari langkah 1 dan 2 dapat ditarik suatu kesimpulan dengan menggunakan prinsip induksi matematika bahwa himpunan P(n) adalah pernyataan benar untuk keseluruhan bilangan bulat positif n ≥ 5.

Soal Nomor 2: Pembuktian Induksi Matematika Pertidaksamaan

Dari pertidaksamaan berikut, buktikan bahwa

(n + 1)² < 2n²

untuk keseluruhan himpunan bilangan bulat positif n ≥ 3.

Pembahasan Soal 2:

Kita misalkan himpunan P(n) dinyatakan sebagai berikut:

(n + 1)² < 2n²

Langkah 1
Kita substitusikan untuk P(3) diperoleh :

➣ (3 + 1)² < 2(3)²
➣ 9 < 18
dari hasil tersebut diatas jelas bahwa pernyataan tersebut bernilai benar.

Langkah 2
Asumsikan bahwa kita akan menggantikan n = k sehingga dapat dituliskan
P(k) : (k + 1)² < 2(k)²   ⥤   pernyataan ini bernilai benar.

Tahap berikutnya persamaan P(k + 1) juga dapat bernilai benar, yaitu
((k+1) + 1)² < 2(k+1)²
Untuk nilai k ≥ 3, kita dapat peroleh:

[(k+1) + 1]² = (k+1)² +  2(k + 1) +1
                     <  2k² + 2k + 2 + 1
                     <  2k² + 4k + 4
                     <  2 (k + 1)²  

Persamaan diatas membuktikan kebenaran pernyataan,  apabila P(k) benar maka P(k + 1). Oleh Sebab itu, berdasarkan langkah yang telah kita kerjakan dari langkah 1 dan 2 dengan metode induksi matematika dapat kita simpulkan bahwa himpunan P(n) benar jika keseluruhan dari bilangan bulat positif bernilai n ≥ 3.

Soal Nomor 3: Contoh Soal Induksi Matematika Pertidaksamaan

Dari pertidaksamaan berikut, buktikan jika:

n! > 2ⁿ

untuk keseluruhan dari bilangan bulat positif n ≥4.

Pembahasan Soal 3:

Kita misalkan untuk himpunan P(n) adalah suatu notasi pernyataan n! > 2ⁿ.
Langkah 1:
Yang pertama kita harus membuktikan bahwa himpunan untuk P(4) adalah benar.
Sementara itu, himpunan P(4) menunjukan bahwa 4! > 2⁴.
➣ kita hitung terlebih dahulu : nilai 4! = 4.3.2.1 = 24  dan nilai 2⁴ = 16 sehingga:
➣ 4! > 2⁴.  ⇆  24 > 16  maka P(4) adalah pernyataan benar.

Langkah 2:
Kita misalkan lagi bahwa P(k): k! > 2^k adalah benar.
berikutnya pernyataan P(k+1): (k+1)! > 2^k+1 harus bernilai benar juga.
➣ (k+1)! = (k+1).k!
                > (k+1).2^k
               > 2.2^k
               > 2^k+1

Dari hasil akhir diatas dapat kita lihat bahwa pernyataan kebenaran P(k)  menyebabkan P(k+1), Sehingga dari langkah 1 dan kedua, kita bisa membuktikan dengan induksi matematika pertidaksamaan bahwa himpunan P(n) adalah bernilai benar jika n ≥4.

Demikian dulu pembahasan Contoh Soal Induksi Matematika Pertidaksamaan yang dapat kami bagikan semoga dapat bermanfaat.