Contoh dan Jawaban Soal Cerita Program Linear

 

Kumpulan Soal Cerita Program Linear

1. Aini, Nia, dan Nisa pergi bersama-sama ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk.
   
   
   Pembahasan :
   misalkan :
   apel = x
   anggur = y
   jeruk = z
   
   Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :
   1). 2x + 2y + z = 67.000
   2). 3x + y + z = 61.000
   3). x + 3y + 2z = 80.000
   
   Ditanya : x + y + 4z = ....?
   
   Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang.
   
   Dari persamaan no 1 dan 2 diperoleh persamaan 4 :
   

   

   Dari persamaan no 2 dan 3 diperoleh persamaan 5 :
   

   

   Dari persamaan no 4 dan 5 diperoleh :
   

   

   
   Jadi harga untuk 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk adalah :
   x + y + 4z = 12.000 + 18.000 + 4(7000) = Rp 58.000,00.
   
   
   
2. Pada sebuah toko buku, Ana membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Lia membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga 21.000,00. Nisa membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp. 12.000,00. Jika Bibah membeli 2 pulpen dan 3pensil, maka tentukan biaya  yang harus dikeluarkan oleh Bibah.
   
   
   Pembahasan :
   misalkan :
   buku = x
   pulpen = y
   pensil = z
   
   Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :
   1). 4x + 2y + 3z = 26.000
   2). 3x + 3y + z = 21.000
   3). 3x + z = 12.000
   
   Ditanya : 2y + 3z = ....?
   
   Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang. Karena yang ditanya harga 2y + 3z, maka kita hanya perlu mencari harga satuan y dan z.
   
   Dari 3x + 3y + z = 21.000 dan 3x + z = 12.000, diperoleh harga satuan pulpen yaitu :
   

   

   
   
   Selanjtunya, substitusi nilai y pada persamaan 1 dan 2 sebagai berikut :
   Jadi, harga 2 pulpen dan 3 pensil adalah :
   2y + 3z = 2(3.000) + 3(2.400) = Rp 13.200,00.
   
   
   
3. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.
   
   
   Pembahasan :
   Pada soal ini, untuk mengetahui keuntungan terbesar maka yang menjadi fungsi tujuan atau fungsi objektifnya adalah keuntungan penjualan sepatu. Jadi fungsi tujuannya adalah :
   F(x,y) = 10.000x + 5.000y
   
   Dengan pemisalan :
   sepatu laki-laki = x
   sepatu perempuan = y
   
   Sistem pertidaksamaan untuk soal tersebut adalah sebagai berikut :
    x + y <= 400
   100 => x <= 150
   150 => y <= 250
   Karena maksimum sepatu laki-laki hanya 150 pasang, maka maksimum sepatu perempuan = 400 - 150 = 250.
   
   Dari sistem pertidaksamaan tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut :
   
   

   

   Sistem pertidaksamaan linear

   
   Dari grafik jelas telihat bahwa keuntungan maksimum berada pada titik pojok paling atas yaitu titik (150,250). Maka nilai maksimum dari fungsi tujuan F(x,y) = 10.000x + 5000y adalah :
   
   F(150,250) = 150 (10.000) + 250 (5.000) = 2.750.000
   
   Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh pemilik toko adalah Rp 2.750.000,00.
   
   
   
4. Seorang pembuat kue mempunyai 8 kg tepung dan 2 kg gula pasir. Ia ingin membuat dua macam kue yaitu kue dadar dan kue apem. Untuk membuat kue dadar dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung sedangkan untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50 gram tepung. Jika kue dadar dijual dengan harga Rp 300,00/buah dan kue apem dijual dengan harga Rp 500,00/buah, tentukanlah pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut.
   
   Pembahasan :
   Untuk mengetahui pendapatan maksimum, maka terlebih dahulu kita menyusun sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan dari soal cerita tersebut. Karena yang ditanya pendapatan maksimum, maka tentu harga jual kue merupakan fungsi tujuan pada soal ini. Untuk menyusun sistem pertidaksamaan, yang perlu kita lakukan adalah menentukan variabel dan koefisiennya.
   
   
   Bahan yang tersedia:
   Tepung = 8 kg = 8000 g
   Gula = 2 kg = 2000 g
   
   Misalkan :
   kue dadar = x 
   kue apem = y 
   
   Maka jumlah tepung, gula, dan harga jual merupakan koefisien. Agar lebih mudah, kita dapat memasukkan data yang ada pada soal ke dalam bentuk tabel seperti berikut :
   
   
   

   
   
   Dari tabel di atas dapat disusun sistem pertidaksamaan sebagai berikut :
   20x + 50y = 800 ---> 2x + 5y <= 800
   10x +5y = 2000 ---> 2x + y <= 400
   x >= 0 dan y >= 0 
   dengan fungsi tujuan f(x,y) = 300x + 500y 
   
   Kemudian gambarkan sistem pertidaksamaan yang sudah disusun dalam grafik.
   Untuk garis 2x + 5y = 800
   x = 0, y = 160 ---> (0, 160)
   y = 0, x = 400 ---> (400, 0)
   
   Untuk garis 2x + y = 400
   x = 0, y = 400 ---> (0, 400)
   y = 0, x = 200 ---> (200, 0)
   
   

   

   Sistem pertidaksamaan linear

   
   Titik B merupakan titik potong garis 2x + 5y = 800 dengan garis 2x + y = 400
   2x + y = 400
   y = 400 - 2x
   
   Dengan metode substitusi :
   2x + 5y = 800
   2x + 5(400 - 2x) = 800
   2x + 2000 - 10x = 800
   -8x = -1200
   x = 150
   
   Karena x = 150, maka :
   y = 400 - 2x
   y = 400 - 2(150)
   y = 400 - 300
   y = 100
   Dengan demikian titik B (150, 100)
   
   

   Selanjutnya substitusikan titik A, B, dan C ke fungsi tujuan :
   A(0, 160) ---> F(x,y) = 300(0) + 500(160) = 80.000
   B(150, 100) ---> F(x,y) = 300(150) + 500(100) = 95.000
   C(200, 0) ---> F(x,y) = 300(200) + 500(0) = 60.000
   
   
   Jadi, pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pedagang kue itu adalah Rp 95.000,00.
   
   
5. Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Mahmud adalah Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud.
   
   Pembahasan :
   Karena ditanya keuntungan, tentu fungsi tujuannya adalah besar keuntungan dari penjualan sapi dan kerbau. Untuk itu, tentukan terlebih dahulu keuntungan menjual sapi dan kerbau sebagai berikut :
   untung sapi = Rp 10.300.000,00 - Rp 9.000.000,00 = Rp 1.300.000,00
   untung kerbau = Rp 9.200.000,00 - Rp 8.000.000,00 = Rp 1.200.000,00
   
   Misalkan banyak sapi = x dan banyak kerbau = y, maka fungsi tujuan menjadi :
   F(x,y) = 1.300.000x + 1.200.000y
   
   Model matematika yang memenuhi soal adalah :
   x >= 0 ---> banyak sapi tidak mungkin negatif
   y >= 0 ---> banyak kerbau tidak mungkin negatif
   x + y <= 15 ---> karena kandang hanya dapat menampung 15 ekor.
   Karena modal Pak Mahmud Rp 124.000.000,00 maka :
   9.000.000x + 8.000.000y <= 124.000.000  ---> disederhanakan menjadi :
   9x + 8y <= 124
   
   Selanjutnya, kita tentukan titik koordinat masing-masing garis agar dapat kita gambar dalam grafik.
   Untuk x + y = 15
   jika x = 0, maka y = 15 ---> (0,15)
   jika y = 0, maka x = 15 ---> (15,0)
   
   Untuk 9x + 8y = 124
   jika x = 0, maka y = 15,5 ---> (0, 16) ---> digenapkan karena jumlah sapi tidak mungkin 1/2.
   jika y = 0, maka x = 13,7 ---> (13 ,0) ---> digenapkan menjadi 13 karena melihat kondisi grafik, titik ini akan menjadi titik pojok, jadi 13,7 tidak digenapkan ke 14 karena jika dibulatkan ke 14 maka akan lebih dari Rp 124.000.000,00.
   
   

   

   
   

   Dari grafik di atas dieproleh tiga titik pojok yang memenuhi syarat untuk menghasilkan nilai maksimum yaitu titik A, B, dan C. Titi A dan C dapat ditentukan secara langsung yaitu A(0,15) dan C(13,0). Titik B merupakan titik potong antara garis x + y = 15 dan 9x + 8y = 124.
   
   x + y = 15 , maka x = 15 - y ---> substitusi ke persamaan 9x + 8y = 124
   9(15 - y) + 8y = 124
   135 - 9y + 8y = 124
   y = 11
   x + y = 15
   x + 11 = 15
   x = 4 ----> jadi titik B(4,11)
   
   Selanjutnya substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan :
   A(0,15) ---> f(x,y) = 1.300.000(0) + 1.200.000(15) = 18.000.000
   B(4,11) ---> f(x,y) = 1.300.000(4) + 1.200.000(11) = 18.400.000
   C(13,0) ---> f(x,y) = 1.300.000(13) + 1.200.000(0) = 16.900.000
   
   Jadi, agar keuntungannya maksimum, jumlah sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud adalah 4 ekor sapi dan 11 ekor kerbau.
     
   
   
6. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000,00/kg dan pisang Rp 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat menampung mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp 9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg, maka tentukanlah laba maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.
   
   
   Pembahasan : 
   Karena ditanya laba maksimum, maka fungsi tujuannya adalah keuntungan dari menjual buah mangga dan buah pisang perkilonya.
   
   Berikut untung penjualan :
   mangga = 9.200 - 8.000 = 1.200
   pisang = 7.000 - 6000 = 1.000
   
   misalkan :
   mangga = x
   pisang = y
   
   maka fungsi tujuannya adalah :
   F(x,y) = 1.200x + 1.000y
   
   Model matematika atau sistem pertidaksamaan yang memenuhi soal tersebut adalah :
   x + y <= 180
   8.000x + 6.000y <= 1.200.000 ---> 4x + 3y <= 600
   x >= 0
   y >= 0
   
   Titik potong masing-masing garis terhadap sumbu x dan sumbu y :
   Garis x + y = 180
   untuk x = 0 , y = 180 ---> (0, 180)
   untuk y = 0, x = 180 ---> (180,0)
   
   Garis 4x + 3y = 600
   untuk x = 0, y = 200 ---> (0, 200)
   untuk y = 0, x = 150 ---> (150, 0)
   
   Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah :
   
   

   

   
   Dari grafik diketahui ada tiga titik pojok yaitu A, B, dan C. Titik C merupakan perpotongan antara garis x + y = 180 dengan 4x + 3y = 600.
   

   

   
   Substitusi titik pojok pada fungsi objektif F(x,y) 1.200x + 1.000y :
   A (0, 180) ---> F(x,y) =1.000(180) = 180.000
   B (60, 120) ---> F(x,y) = 1.200(60) + 1.000(120) = 192.000
   C (150,0) ---> F(x,y) = 1.200(150) = 180.000
   
   Jadi laba maksimum yang diperoleh pedagang buah adalah Rp 192.000,00.


7. Sebuah perusahaan properti memproduksi dua macam lemari pakaian yaitu tipe lux dan tipe sport dengan menggunakan 2 bahan dasar yang sama yaitu kayu jati dan cat pernis. Untuk memproduksi 1 unit tipe lux dibutuhkan 10 batang kayu jati dan 3 kaleng cat pernis, sedangkan untuk memproduksi 1 unit tipe sport dibutuhkan 6 batang kayu jati  dan 1 kaleng cat pernis. Biaya produksi tipe lux dan tipe sport masing-masing adalah Rp 40.000 dan Rp 28.000 per unit. Untuk satu periode produksi, perusahaan menggunakan paling sedikit 120 batang kayu jati dan 24 kaleng cat pernis. Bila perusahaan harus memproduksi lemari tipe lux paling sedikit 2 buah dan tipe sport paling sedikit 4 buah, tentukan banyak lemari tipe lux dan tipe sport yang harus diproduksi agar biaya produksinya minimum.
   
   Pembahasan:
   Karena yang ditanya adalah biaya produksi minimum, maka ongkos produksi masing-masing tipe lemari merupakan fungsi tujuannya. Bila kita misalkan tipe lux = x dan tipe sport = y, maka fungsi tujuannya adalah sebagai berikut :
   F(x,y) = 40.000x + 28.000y
   
   Selanjutnya, model matematika untuk kendala yang diberikan adalah seperti di bawah ini. Perhatikan bahwa tanda pertidaksamaan yang digunakan untuk soal penentuan nilai minimum adalah lebih besar dari sama dengan (>=) seperti di bawah ini :
   x >= 2 ---> karena tipe lux paling sedikit 2 buah
   y >= 4 ---> karena tipe sport paling sedikit 4 buah
   10x + 6y >= 120 ---> kayu jati yang digunakan paling sedikit 120 batang
   3x + y >= 24 ---> cat pernis yang digunakan paling sedikit 24 kaleng
   
   Titik potong masing-masing kendala terhadap sumbu x dan sumbu y adalah sebagai berikut :
   untuk 10x + 6y = 120
   misal x = 0, maka y = 20 ---> (0,20)
   misal y = 0, maka x = 12 ---> (12,0)
   
   untuk 3x + y = 24
   misal x = 0, maka y = 24 ---> (0,24)
   misal y = 0, maka x = 8 ---> (8,0)
   
   Setelah itu kita gambarkan grafik sesuai dengan titik-titik yang telah kita peroleh dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya. Karena lebih besar sama dengan (>=), maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah di atas/kanan garis.
   
   

   

   
   Dari garfik di atas jelas terlihat bahwa terdapat tiga titik pojok yang akan diuji untuk dilihat titik manakah yang menghasilkan nilai minimum.
   
   Titik C merupakan perotongan antara garis y = 4 dan 10x + 6y = 120. Dengan mensubstitusi nilai y = 4 pada persamaan 10x + 6y = 120, maka diperoleh :
   10x + 6(4) = 120
   10x = 96
   x = 9,6 = 9 ---> digenapkan 9 karena tidak mungkin 0,6 buah.
   maka titik C(9,4)
   
   Titik B merupakan perpotongan antara garis 10x + 6y = 120 dan garis 3x + y = 24. Dengan metode substitusi diperoleh :
   3x + y = 24 ---> y = 24 - 3x ---> substitusi ke persamaan 10x + 6y = 120
   10x + 6(24 - 3x) = 120
   10x + 144 - 18x = 120
   -8x = -24
   x = 3
   Sunstitusi x = 3 ke persamaan y = 24 - 3x
   y = 24 - 3(3) = 15 ---> titik B(3,15)
   
   Titik A merupakan perpotongan antara garis 3x + y = 24 dengan x = 2. Dengan mensubstitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 24, maka diperoleh :
   3(2) + y = 24
   y = 24 - 6
   y = 18 ---> titik A(2,18)
   
   Langkah terakhir, substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan F(x,y) = 40.000x + 28.000y sebagai berikut :
   A(2,18) ---> F(x,y) = 40.000(2) + 28.000(18) = 584.000
   B(3,15) ---> F(x,y) = 40.000(3) + 28.000(15) = 540.000
   C(9,4) ---> F(x,y) = 40.000(9) + 28.000(4) = 482.000
   
   Jadi agar biaya produksi minimum, perusahaan sebaiknya memproduksi 9 buah lemari tipe lux dan 4 buah lemari tipe sport dengan biaya produksi Rp 482.000,00
   
   
   
8. Seorang pedagang furnitur ingin mengirim barang dagangannya yang terdiri atas 1.200 kursi dan 400 meja. Untuk keperluan tersebut, ia akan menyewa truk dan colt. Truk dapat memuat 30 kursi lipat dan 20 meja lipat, sedangkan colt dapat memuat 40 kursi lipat dan 10 meja lipat. Ongkos sewa sebuah truk Rp 200.000,00 sedangkan ongkos sewa sebuah colt Rp 160.000,00. Tentukan jumlah truk dan colt yang harus disewa agar ongkos pengiriman minimum.
   
   

   
   Pembahasan :
   Agar ongkos kirim minimum, maka fungsi tujuannya adalah ongkos sewa. Misal truk = x dan colt = y, maka fungsi tujuannya menjadi :
   F(x,y) = 200.000x + 160.000y
   
   Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah sebagai berikut :
   30x + 40y >=1.200 ---> 3x + 4y >= 120
   20x + 10y >= 400 ---> 2x + y >= 40
   x >= 0
   y >= 0
   
   
Tentukan titik koordinat garis kendala yang diperoleh sebagai beikut :
untuk 3x + 4y >= 120
misal x = 0, maka y = 30 ---> (0,30)
misal y = 0, maka x = 40 ---> (40,0)

untuk 2x + y >= 40
misal x = 0, maka y = 40 ---> (0,40)
misal y = 0, maka x = 20 ---> (20,0) 
Gambarkan ke dalam grafik dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya seperti berikut :

Dari grafik di atas,diperoleh titik A(0,40), B(8,24), dan C(40,0). Untuk memastikan titik mana yang menghasilkan nilai minimum, ada baiknya kita uji satu-persatu.
A(0,40) ---> F(x,y) = 200.000(0) + 160.000(40) = 6.400.000
B(8,24) ---> F(x,y) = 200.000(8) + 160.000(24) = 5.440.000
C(40,0) ---> F(x,y) = 200.000(40) + 160.000(0) = 8.000.000


Jadi agar biaya pengiriman minimum, pedagang tersebut sebaiknya menyewa 8 truk dan 24 colt.


9. Seorang petani memiliki tanah tidak kurang dari 10 hektar. Ia merencanakan akan menanami padi seluas 2 hektar sampai dengan 6 hektar dan menanam jagung seluas 4 hektar sampai dengan  6 hektar. Untuk menanam padi perhektarnya diperlukan biaya Rp 400.000,00 sedangkan untuk menanam jagung per hektarnya diperlukan biaya Rp 200.000,00. Agar biaya tanam minimum, tentukan berapa banyak masing-masing padi dan jagung yang harus ditanam.
   
   Pembahasan :
   Dengan memisalkan padi = x dan jagung = y, fungsi tujuan yang memenuhi soal di atas adalah sebagai berikut :
   F(x,y) = 400.000x + 200.000y
   
   Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah :
   x >= 2 ---> paling sedikit 2 hektar padi
   x <= 6 ---> paling banyak 6 hektar padi
   y >= 4 ---> paling sedikit 4 hektar jagung
   y <= 6 ---> paling banyak 6 hektar padi
   x + y >= 10 ---> tanah tidak kurang 10 hektar
   
   

   

   
   Dari grafik diketahui titik pojok A(4,6), B(6,6), dan C(6,4). Substitusi ke fungsi tujuan F(x,y) = 400.000x + 200.000y, maka diperoleh :
   A(4,6) ---> F(x,y) = 400.000(4) + 200.000(6) = 2.800.000
   B(6,6) ---> F(x,y) = 400.000(6) + 200.000(6) = 3.600.000
   C(6,4) ---> F(x,y) = 400.000(6) + 200.000(4) = 3.200.000
   
   Jadi agar biaya tanam minimum, petani sebaiknya menanam 4 hektar padi dan 6 hektar jagung
   
   Demikian  Contoh dan Jawaban Soal Cerita Program Linear semoga dapat bermanfaat.