Contoh dan pembahasan Soal Fungsi Kuadrat

Contoh dan pembahasan Soal Fungsi Kuadrat. Dalam mengerjakan soal-soal yang berhubungan erat  dengan fungsi kuadrat dengan mudah, anda harus teliti serta mengerti konsep dasar dalam sebuah fungsi kuadrat.

Fungsi kuadarat dapat kita defenisikan sebagai suatu fungsi yang memiliki pangkat terbesar variabelnya yakni 2. Hal tersebut sangat mirip dengan sistem persamaan kuadrat, tetapi berbentuk sebuah fungsi.

Fungsi Kuadrat terdiri dari bentuk umum fungsi kuadrat itu sendiri, nilai diskriminan fungsi kuadrat dan apakah terdapat pengaruh dari nilai tersebut terhadap bentuk serta sifat grafik fungsi kuadrat, dan cara menggambar grafik fungsi kuadrat setelah kita peroleh hasilnya dalam perhitungan.

Baca juga: Trik dan Tips menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Agar anda dapat dengan mudah menggambarkan grafik fungsi kuadrat, maka anda harus mengetahui rumus untuk dapat menentukan sumbu simetri parabola, rumus menentukan nilai ekstrim dan titik balik, dan tentu saja cara menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y. Jenis serta bentuk dari suatu grafik fungsi kuadrat akan bergantung pada nilai peubah a,b,c dan nilai diskriminannya.

Kumpulan Soal Fungsi Kuadrat

Diketahui fungsi f(x) = (a + 1)x² − 2ax + (a − 2) definit negatif. Nilai a yang memenuhi adalah ....

A. a < 2
B. a > −2
C. a < −1
D. a < −2
E. a > 1

Pembahasan

Fungsi f(x) dikatakan definit negatif apabila f(x) selalu bernilai negatif untuk semua nilai x. Hal ini terjadi apabila kurva f(x) berada di bawah sumbu x.

Syarat agar fungsi kuadrat f(x) definit negatif adalah kurva parabola terbuka ke bawah dan tidak memotong ataupun menyinggung sumbu x.

Kurva parabola akan terbuka ke bawah apabila koefisien kuadratnya bernilai negatif.
a + 1 < 0
a < −1 ... (1)

Sedangkan syarat agar kurva parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu xadalah diskriminan fungsi f(x) harus bernilai negatif.

                                   D < 0
                        b² − 4ac < 0
(−2a)² − 4(a + 1)(a − 2) < 0
        4a² − 4(a² − a − 2) < 0
        4a² − 4a² + 4a + 8 < 0
                       4a + 8 < 0
4a < −8
a < −2 ... (2)


Selanjutnya kita buat garis bilangan untuk pertidaksamaan (1) dan (2).

Berdasarkan garis bilangan tersebut, nilai a yang memenuhi adalah:

a < −2

Jadi, agar f(x) definit positif maka rentang nilai a adalah a < −2 (D).

 
1. Tentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 5x² - 20x + 1.
   
   Pembahasan
   Sumbu simetri suatu fungsi kuadrat dapat dihitung dengan rumus x = -b/2a. Dari fungsi kuadrat pada soal diperoleh a = 5 dan b = -20.
   x = -b/2a
   ⇒ x = -(-20)/2(5)
   ⇒ x = 20/10
   ⇒ x = 2
   Jadi sumbu simetri untuk fungsi kuadrat y = 5x² - 20x + 1 adalah x = 2.
   
   
2. Tentukan titik balik fungsi kuadrat F(x) = 2(x + 2)² + 3.
   
   Pembahasan
   Terlebih dahulu kita uraikan fungsi kuadrat di atas menjadi :
   F(x) = 2(x + 2)² + 3
   ⇒ F(x) = 2(x² + 4x + 4) + 3
   ⇒ F(x) = 2x² + 8x + 8 + 3
   ⇒ F(x) = 2x² + 8x + 11
   Dari fungsi di atas diperoleh a = 2, b = 8.
   Titik balik fungsi kuadrat dapat ditentukan dengan (x,y) = (-b/2a, F(-b/2a)).
   x = -b/2a
   ⇒ x = -8/2(2)
   ⇒ x = -8/4
   ⇒ x = -2
   y = F(-b/2a) = F(x)
   ⇒ y = F(-2)
   ⇒ y = 2(-2)² + 8(-2) + 11
   ⇒ y = 2(4) - 16 + 11
   ⇒ y = 8 - 16 + 11
   ⇒ y = 8 - 16 + 11
   ⇒ y = 3
   Jadi, titik balik untuk fungsi kuadrat  F(x) = 2(x + 2)² + 3 adalah (-2,3).
   
   
3. Tentukan koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x - 6)(x + 2).
   
   Pembahasan
   Uraikan persamaan di atas menjadi :
   y = (x - 6)(x + 2)
   ⇒ y = x²  + 2x - 6x - 12
   ⇒ y = x²  - 4x - 12
   Dari persamaan di atas diperoleh a = 1 dan b = -4.
   Titik balik fungsi kuadrat dapat ditentukan dengan (x,y) = (-b/2a, F(-b/2a)).
   x = -b/2a
   ⇒ x = -(-4)/2(1)
   ⇒ x = 4/2
   ⇒ x = 2
   y = F(-b/2a) = F(x)
   ⇒ y = F(2)
   ⇒ y = 2²  - 4(2) - 12
   ⇒ y = 4 - 8 - 12
   ⇒ y = -16
   Jadi, titik balik fungsi kuadrat y = (x - 6)(x + 2) adalah (2,-16).
   
   
4. Jika grafik fungsi y = x² + px + k mempunyai titik puncak (1,2), maka tentukan nilai p dan k.
   
   Pembahasan
   Dari y = x² + px + k diperoleh a = 1, b = p dan c = k.
   Titik puncak (1,2) maka x = 1 dan y = 2.
   x = -b/2a = 1
   ⇒ -b/2a = 1
   ⇒ -p/2 =1
   ⇒ p = -2
   y = y(-b/2a) = y(1) = 2
   ⇒ x² + px + k = 2
   ⇒ (1)² + -2(1) + k = 2
   ⇒ 1 - 2 + k = 2
   ⇒ k = 2 + 1
   ⇒ k = 3
   Jadi, p = -2 dan k = 3.
   

   Rumus Umum Fungsi Kuadrat

   5. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x² - 2x  - 2 dengan sumbu x dan sumbu y.
5. Pembahasan 
   (Perbaikan : soalnya salah ketik seharusnya y = 3x² - x  - 2)
   Titik potong pada sumbu x dapat diperoleh jika y = 0.
   3x² - 2x  - 2 = 0
   ⇒ (3x + 2)(x - 1) = 0
   ⇒ x1 = -2/3 dan x2 = 1
   Maka titik potongnya (-2/3,0) dan (1,0).
   
   Titik potong pada sumbu y dapat diperoleh dengan x = 0.
   ⇒ y = 3x² - x  - 2
   ⇒ y = 3(0)² - (0)  - 2
   ⇒ y = -2
   Maka titik potongnya (0,-2).

Kumpulan Soal Grafik Fungsi Kuadrat

1. Ke arah manakah grafik fungsi f(x) = x² harus digeser untuk memperoleh grafik fungsi kuadart f(x) = x² - 6x + 7.
   
   Pembahasan 
   Fungsi kuadrat f(x) = x² memiliki nilai :
   ⇒ a > 0 sehingga parabola terbuka ke atas.
   ⇒ b = 0 sehingga titik balik parabola berada pada sumbu y.
   ⇒ c = 0 sehingga grafik parabola melalui titik (0,0).
   
   Fungsi kuadrat f(x) = x² - 6x + 7 memiliki nilai :
   ⇒ a > 0 sehingga parabola terbuka ke atas
   ⇒ b = -6 maka a.b = -6 < 0 sehingga titik balik ada di kanan sumbu y.
   ⇒ c = 7 > 0 sehingga parabola memotong sumbu y di atas sumbu x.
   
   Karena titik balik ada di kanan sumbu y, berarti grafik f(x) = x² harus digeser ke arah kanan sumbu x. Untuk lebih jelasnya kita dapat menentukan terlebih dahulu titik-titik yang dibutuhkan, yaitu :
   ⇒ sumbu simetri = x = -b/2a = -(-6)/2(1) = 3
   ⇒ nilai ekstrim = y = f(-b/2a) = f(3) = 3² - 6(3) + 7 = -2
   ⇒ titik balik = (x,y) = (3,-2)
   
   Ingat bahwa grafik  f(x) = x² melalui titik (0,0) sedangkan grafik f(x) = x² - 6x + 7 melalui titik (3,-2), maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat f(x) = x² - 6x + 7 dengan menggeser grafik fungsi kuadrat f(x) = x² ke arah kanan sumbu x sejauh 3 satuan dan ke arah bawah sumbu y sejauh 2 satuan seperti gambar di bawah ini :
   
   

   

   
   
   
2. Gambarkan grafik fungsi kuadrat y = x² + 2x + 5.
   
   Pembahasan 
   Dari soal diperoleh a = 1, b = 2 dan c = 5. Tentukan titik-titik yang dibutuhkan, yaitu :
   ⇒ sumbu simetri = x = -b/2a = -2/2(1) = -1
   ⇒ nilai ekstrim = y = f(-1) = (-1)² + 2(-1) + 5 = 4
   ⇒ titik balik = (x,y) = (-1,4) berarti parabola tidak memotong sumbu x.
   ⇒ titik potong pada sumbu y = (0,c) = (0,5)
   
   maka grafik untuk y = x² + 2x + 5 adalah seperti berikut ini :
   
   

   

   
   Jika dianalisis berdasarkan nilai a, b, c dan diskriminan, kita dapat membuktikan bahwa grafik di atas sesuai atau tidak.
   ⇒ a = 1 → a > 0 : parabola terbuka ke atas.
   ⇒ b = 2 → a.b = 1(2) = 2 → a.b > 0 : titik balik di kiri sumbu y.
   ⇒ c = 5 → c > 0 : parabola memotong sumbu y di atas sumbu x.
   ⇒ D = b² - 4ac = 4 - 4(1)(5) = - 16 : grafik tidak memotong sumbu x karena D < 0.
   
   
3. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3).
   
   Pembahasan 
   Misalkan fungsi kuadrat f(x) =  ax² + bx + c maka kita harus mencari nilai a, b, dan c.
   Titik balik minimum (1,2) maka :
   sumbu simetri = x = 1
   ⇒ -b/2a = 1 maka b = -2a
   nilai ekstrim = y = 2
   ⇒ f(-b/2a) = 2
   ⇒ a(1)² + b(1) + c = 2
   ⇒ a + b + c = 2 → ganti b dengan -2a.
   ⇒ a - 2a + c = 2
   ⇒ -a + c = 2
   
   Melalui titik (2,3), maka :
   ⇒ f(2) = 3
   ⇒ a(2)² + b(2) + c = 3
   ⇒ 4a + 2b + c = 3
   ⇒ 4a + 2(-2a) + c = 3
   ⇒ 4a - 4a + c = 3
   ⇒ c = 3
   Substitusi nilai c = 3 ke persamaan -a + c = 2.
   ⇒ -a + 3 = 2
   ⇒ -a = -1
   ⇒ a = 1
   Karena a = 1 maka :
   ⇒ b = -2a
   ⇒ b = -2(1)
   ⇒ b = -2
   Jadi fungsi kuadrat yang grafiknya melalaui titik (2,3) dan titik balik minimum (1,2) adalah : x² - 2x + 3.