Contoh dan pembahasan soal Integral Subtitusi

Contoh dan pembahasan soal Integral Subtitusi. Pada perhitungan matematika tentang integral, semua fungsi tidak selamanya dapat kita integralkan dengan mudah menggunakan persamaan dasar ataupun rumus umum Integral. 

Hal ini dapat terjadi dikarenakan ada banyak perhitungan fungsi yang sangat sulit bahkan tidak dapat diselesaikan dengan memakai persamaan umum Integral. Oleh sebab itu harus dilakukan cara agar dapat menyelesaikan perhitungan integral dengan mudah. Salah satu cara penyelesaian integral dengan penggunaan  metode subtitusi.

Bagaimana cara pengintegralan Subtitusi, berikut tips-tips yang dapat anda terapkan:

⇒ Memisalkan fungsi, jika kita turunkan menjadi fungsi yang lainnya, contoh menjadi suatu fungsi u
⇒ Melakukan penurunan fungsi u terhadap x menggunakan notasi leibniz
⇒ Menyatakan notasi leibniz yang telah diselesaikan di atas menjadi bentuk dx =.....
⇒ Lakukan subtitusi pemisalan ke bentuk integral semula.

Baca Juga: Contoh dan Pembahasan Soal beserta Rumus Logaritma

Agar kita dapat menyelesaikan fungsi yang terbilang sulit dengan menggunakan integral, kita harus mengetahui teknik-teknik pengintegralan. Dalam kesempatan kali ini kami akan membahas salah salah satu teknik dari pengintegralan yakni integral Subtitusi.




Untuk teknik yang lainnya akan dibahas pada tulisan berikutnya.
Hal terpenting dari metode ini adalah dengan cara mengubah bentuk integral kompleks menjadi suatu bentuk yang lebih sederhana lagi.

Bentuk umum dari integral substitusi adalah sebagai berikut.

Untuk lebih memahami persamaan umum di atas ada baiknya kita tinjau beberapa contoh penggunaaan metode integral subtitusi berikut ini:

Soal nomor 1

Hasil dari



adalah ....







Pembahasan

Dalam mengerjakan soal integral seperti no.1, kita harus lebih teliti dalam mengerjakannya. Coba anda pindah terlebih dahulu penyebutnya ke atas sehingga pangkat penyebut menjadi negatif.

∫ (3x − 2)(3x² − 4x + 5)⁻⁵ dx

Pada Integral di atas terdapat dua fungsi, yakni fungsi linear (3x − 2) dan fungsi (3x² − 4x + 5)⁻⁵. Apabila kita melihat pangkat x tertinggi dari kedua fungsi tersebut kita peroleh nilai 3x dan 3x².

Antara selisih kedua pangkat tertingginya 2 − 1 = 1. Maka inilah yang menjadi ciri-ciri dari integral substitusi, selisih pangkat tertinggi dari kedua fungsi = 1.

Prinsip utama dari integral substitusi adalah:



dengan f(x) = 3x² − 4x + 5 (kita pilih fungsi ini karena berpangkat lebih tinggi) dan f'(x) = 6x − 4 (turunan dari f(x)). Dengan demikian, integral di atas menjadi:



(6x − 4) adalah 2 kali dari (3x − 2) sehingga kita dapat selesaikan menjadi
½∫ (3x² − 4x + 5)⁻⁵ d(3x² − 4x + 5)

Integral ini bentuknya sama dengan ½∫ a⁻⁵ da sehingga diperoleh

½(−¼) (3x² − 4x + 5)⁻⁴ + C


Jadi, hasil dari integral tersebut adalah jawaban opsi (A).

Integral Substitusi Trigonometri 

Metode Substitusi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan bentuk integral yang mengandung bentuk dari sebuah akar yakni:

√a² - u²,     √a² + u²   dan    √u² - a²

Penggunaan metode substitusi trigonometri bertujuan agar dapat menghilangkan fungsi akar dalam integral. Cara ini dapat kita padukan dengan penggunaan identitas Pythagoras yaitu:

cos² θ = 1 -sin² θ, sec² θ = 1 + tan² θ dan tan² θ = sec² θ -1.

Untuk lebih memahami metode substitusi kita contohkan, jika a > 0, dimisalkan u = a sin θ, dengan –π/2 < θ < π/2. Maka diperoleh:

√a² - u² = √a² - a² sin² θ
             = √a² (1 - sin² θ
            = √a² cos² θ
            =  a cos θ

Perhatikan bahwa nilai cos θ ≥ 0, karena –π/2 < θ < π/2.

Demikian Pembahasan Soal Integral Subtitusi semoga dapat bermanfaat.